domingo, 3 de enero de 2010

MATEMÁTICA COMO LENGUAJE

Pedro M. González Urbaneja


MATEMÁTICA Y LENGUAJE  Y MATEMÁTICA COMO LENGUAJE


El momento en que comienza la comprensión del número y del idioma se caracteriza por una profunda experiencia íntima, verdadero despertar del yo, que de un niño hace un hombre, un miembro de una cultura. [...]. En ese momento se produce un sentimiento súbito y casi metafísico de temor y respeto a lo que significan profundamente las palabras “medir”, “contar”, “dibujar”, “formar”.
O.Spengler (La decadencia de Occidente, cap.I.1).

Ante la pulcritud de la demostración del primer teorema quedé deslumbrado por ese mundo perfecto y límpido. Había descubierto el universo platónico, ajeno a los horrores de la condición humana; e intuí que esos teoremas eran como majestuosas catedrales, bellas estatuas en medio de las derruidas torres de mi adolescencia.
Ernesto Sábato.

Número Celeste! ¡Geometría Dorada!
¡Verso Pitagórico! ¡Clave de Cristal!
¡Canto de Divina boca en llamarada!
¡Verso del Ardiente Pentáculo Astral!
Valle Inclán.

Van paralelos Lenguaje y Geometría
Con un punto supremo de armonía
Juntas están Matemática y Poesía.

Gonzalo Sánchez Vázquez (Matemática y Poesía).

Algunos dicen que la ciencia matemática es prosaica
Pero nada hay tan bello como la fórmula algebraica.
Pareado anónimo.



Sr. Director, compañeras, compañeros, alumnas y alumnos:
Inspirado en un artículo del académico Lázaro Carreter y en una frase del filósofo Alain sobre Geometría y Poesía y tomando como hilo conductor los vínculos entre Matemática y Lenguaje os hablaré de la importancia de la Matemática en la forja del entendimiento y la voluntad y las diversas facultades, aptitudes y actitudes, en la formación integral de la persona como ciudadano educado y en particular de la dimensión cultural de la Matemática más allá del carácter instrumental que se le ha asignado en la Enseñanza Secundaria. Incluiré no sólo la relación entre Matemática y Lenguaje sino la Matemática como constructora de Lenguaje. Las citas anteriores son un botón de muestra que nos permiten adentrarnos  en el tema con el apoyo de grandes expertos en el manejo del lenguaje.

Las palabras que vais a tener la gentileza de escuchar os las dedico a todos los alumnos y alumnas de Bachillerato, y en particular, y porque viene a cuento del tema, se las dedico también:

a  mis sobrinos  que entre ellos son primos entre sí.


Matemática y Lenguaje.

Al acompañar de forma paralela a toda civilización, Las Matemáticas constituyen una de las grandes manifestaciones del pensamiento con un desarrollo milenario estrechamente relacionado con los grandes hitos de la Cultura. Conocida es la implicación de la Matemática con las Ciencias de la Naturaleza y la Tecnología; pero sus vínculos con la Filosofía, la Educación, el Lenguaje, la Poesía, la Literatura, las Artes, la Belleza, la Religión, la Mística, la Política, la Magia, etc., hacen de ella una manifestación de la racionalidad humana que, navegando a lo largo de la Historia en todos los confines del Pensamiento, vertebra la Cultura, desde las más remotas civilizaciones hasta la inexorable informatización del mundo actual. La permanente interacción del desarrollo matemático con cualquier actividad humana hacen de esta ciencia uno de los grandes logros culturales de la humanidad.
De toda esta poliédrica dimensión cultural de la Matemática vamos a hablar de los vínculos de la Matemática y el Lenguaje, sobre todo de la Matemática como creadora de lenguaje. De todo ello deduciremos la trascendental importancia que tiene la matemática en la formación integral de la persona y en particular en la forja de dos potencias esenciales del ser humano: el entendimiento y la voluntad y sus diversas facultades, aptitudes y actitudes.


Ojeando y hojeando un libro del pensador y profesor de Filosofía francés Alain (seudónimo de Emile Chartier) titulado "Charlas sobre Educación y Pedagogía infantil" (Edidorial Losada, 2001) encontré una afirmación muy audaz:
 «En la Educación infantil bastaría con enseñar Geometría y Poesía»

Este autor se ha puesto de moda ahora con la edición de unos pensamientos a modo de antídoto contra la infelicidad que acaba de publicar RBA Libros con el título Mira a lo lejos. En él aparecen frases lapidarias ricas en sabiduría. Por ejemplo:
«Cuanto más sabemos, más somos capaces de aprender».


Pero volviendo a Poesía y Geometría, para mi
La Poesía es la más refinada manifestación del pensamiento humano para expresar los sentimientos.
La Geometría como ciencia de la forma y la extensión es la más refinada manifestación del pensamiento humano para expresar lo que percibimos por los sentidos.
He aquí, para empezar una primera vinculación entre matemática y lenguaje como instrumentos de expresión de elementos genuinamente humanos: los sentimientos y las percepciones.

El brillante matemático K.Weierstrass escribía:
 «Un matemático que no tenga también algo de poeta no será nunca un matemático completo».


La Poesía y la Matemática comparten no sólo la medida (en el caso de los versos rimados) sino en todo caso armonía, belleza, juego, artificio y creatividad. Por eso muchos poetas y matemáticos han comparado la experiencia de demostrar un teorema con la de construir un poema.
En algunos matemáticos como los pitagóricos –cuya doctrina moral está plasmada en los Versos Dorados–, Platón, O.Kayyan, Luca Pacioli, Descartes, Weierstrass, L.Carroll, F.Hausdorff, Poincaré, Hardy y otros, encontramos una gran dosis de poesía; mientras que en poetas como Dante, Novalis, Goethe, Pessoa, P.Valery, R.Alberti, G.Ferrater, W.Szymborska hallamos un complaciente acercamiento a la Matemática.
Goethe: «El matemático no es perfecto sino cuando siente la belleza de la verdad».
F. Pessoa: «El binomio de Newton es tan bello como la Venus de Milo.»
P. Valery: «El eterno deseo de encadenar la morfología física y biológica, ... a la ciencia de las formas ... y las fórmulas que sirven en las Artes es el tema que ha explorado este libro [Ghyca. El número de oro, Poseidón, Barcelona, 1978, pág.9], ¡Qué poema el análisis del número de oro, .»

Pero decíamos antes que íbamos a hablar sobre todo de la Matemática como creadora de lenguaje. Parte de lo que voy a decir sobre este tema está inspirado en un artículo de F.Lázaro Carreter titulado «Espíritu de geometría» (EL PAÍS, 5/12/99), que comienza con estas palabras:
«¿Podríamos hablar sin la Geometría? Se cuela por todas las costuras del idioma, sin casi darnos cuenta ...»

Mencionemos algunas de esta perlas del lenguaje con las que podremos apreciar que el mundo social y sobre todo el mediático, ha entrado a saco, a veces sin ningún respeto, en el santuario de Pitágoras, Euclides y Descartes. Como dice el autor del artículo, se trata de expresiones geométricas que a veces son metáforas perfectamente válidas e idiomáticamente bellas pero que en general son ridículas cornadas a la lengua y tópicos tropos geométricos que sirven de muletillas del lenguaje. Vosotros juzgaréis.
Girar en torno al eje. Pentágono. Radio de acción. Infinito/a. Proyección. Inconmensurable. Espiral de violencia. Medio. Recta final. Perspectiva. Cerrar el círculo
La política mundial gira en torno al eje del Pentágono americano cuyo radio de acción ha alcanzado una infinita proyección que provoca a veces una inconmensurable espiral de violencia. Esperemos que la situación en Oriente Medio entre en una recta final dentro de una perspectiva democrática cuando se cierre el círculo de negociaciones.

Señalamos frente a la espiral, la recta; mientras la espiral se vuelve y revuelve sin saber hasta dónde, la recta lleva como una sombra el adjetivo final. Cuando falta ya poco para que algo acabe (el curso, un partido de fútbol, un proceso... ), dicen de ese algo que ha entrado en su recta final, aunque, paradójicamente, a veces termina en curva, como ocurre con frecuencia en el remate de un curso escolar o de un partido de fútbol que suele estar lleno de sobresalto, y alumnos o futbolistas lo recorren por curvas sinusoides durante los últimos días del curso y en prórrogas respectivamente.

Así que de recta final, nada. En sentido matemático estricto está claro la incorrección semántica, porque una recta final sería algo tan imposible como un círculo cuadrado. Lo correcto sería hablar de segmento final y aún así habría de aclarar que nos referimos a la longitud del segmento y no al número de puntos que hay en él infinitos como en la recta, paradojas del infinito, con el que también se juega muy incorrectamente en el lenguaje ordinario, llamando infinito a lo que concebimos como muy grande o muy numeroso. A hablar, pues, de recta final se comete un grave error de bulto: se confunde segmento con recta, es decir: «se confunde el todo con la parte» atentando contra el último axioma (8) de Los Elementos de Euclides. Lo mismo sucede con la expresión «cerrar el círculo» frase absurda o redundante en sí misma ya que el círculo es ya una curva cerrada; si acaso habría que decir cerrar el arco.

Error similares se cometen al llamar redondo a lo que es circular, como por ejemplo una copa o un vaso.
Más fortuna tiene la frase «me ha salido redondo» que implícitamente alude a la perfección mayestática de la simetría esférica como superficie cerrada que encierra un volumen determinado con la mínima superficie, por eso cumple una función esencial en la naturaleza, que sabe muy bien optimizar los recursos.
Sigamos:

Conducta recta. Trayectoria rectilínea. Comportamiento sinuoso. Salirse por la tangente.
El Profesor A tiene una conducta muy recta lo que nos obliga a una trayectoria escolar muy rectilínea, en cambio, el Profesor B muestra un discurso muy sinuoso por eso cuando le preguntamos suele salirse por la tangente.

Ver las cosas bajo un prisma de ..., o desde un ángulo de ... . Visión poliédrica de ... . Desarrollar. Entorno.
Los prejuicios nos hacen ver las cosas bajo un prisma subjetivo que nos condena a una percepción de la realidad desde un único ángulo. Debemos desarrollar una visión poliédrica (con múltiples matices) de nuestro entorno.

Altas esferas. Sectores afectados. Segmento de jóvenes.
Tras las decisiones políticas que se toman en las Altas esferas siempre hay Sectores afectados del que no se libra el Segmento de jóvenes.

Punto de inflexión, giro de 180º.
La enfermedad ha provocado un punto de inflexión en mi vida, casi un giro de 180º.
Curiosamente algunos políticos, que padecen la enfermedad adanismo –el socialmente muy peligroso «síndrome se Adán»– manejan de forma muy ridícula, por incorrecta, la última expresión, cuando en campaña electoral hablan de dar un giro de 360º a tal o cual situación.

Círculos de empresarios. Polígonos de desarrollo. Curvas de crecimiento.
El gobierno ha negociado con los Círculos de empresarios nuevos Polígonos de desarrollo para hacer decrecer la curva del paro.

Aumento lineal. Asunto central. Situación puntual. Cero a la izquierda.
La empresa ha concedido un Aumento lineal a los trabajadores. Siendo el salario un Asunto central, esperamos que sea una Situación puntual, ya que el Sindicato ha sido un Cero a la izquierda.

Así pues, hemos visto que en el lenguaje ordinario y coloquial se alude a las Altas esferas, a los Sectores afectados, al Segmento de jóvenes, al Radio de acción, a la Proyección, a lo infinito o Inconmensurable, a la Espiral de violencia, a la Recta final, a la Perspectiva de visión, al prisma o el ángulo bajo el que se divisa un entorno que suele ser poliédrico. Y además de Círculos de empresarios (o de labradores o de artistas) hay Polígonos de desarrollo, Curvas de crecimiento, conductas rectas o sinuosas que determinan trayectorias rectilíneas o se salen por la tangente. También hay incrementos lineales, asuntos centrales y situaciones puntuales que afectan, aunque uno sea un cero a la izquierda, y de vez en cuando nuestra vida hace un Punto de inflexión o un giro de 180º.

Pero la cosa no queda aquí porque en la vida hay situaciones semejantes que se describen como paralelas. Incluso también hay vidas paralelas en la Literatura clásica, como la famosa obra de Plutarco. En cambio otras veces, sobre todo entre algunos partidos del arco parlamentario, se habla de posiciones convergentes, como indicando que tienden cada vez más a ser iguales –tan iguales, tan iguales, que parece imponerse en la Política el Pensamiento único–, mientras que si son divergentes cada vez distarán más.
También se indica que algo está proporcionado o dimensionado como bien medido o ajustado para su función. Al situar la sensatez en el centro, a partir de Aristóteles, se identifica la mitad o el medio con lo virtuoso. Y cuando se plantea resolver algo imposible se habla de que «es tan difícil como la cuadratura del círculo» –uno de los problemas históricos más importantes de la Matemática–, interpretando de forma incorrecta esta quimera matemática, porque la cuadratura del círculo no es difícil, sino que simplemente es imposible. A veces, la torcida utilización del lenguaje matemático alcanza el paroxismo, como cuando, según una moda reciente, algunos tertulianos hablan de la primera derivada o la segunda derivada de esta posición, esa cuestión o aquella situación. Aquí sencillamente el asunto no tiene nada que ver con la tangente de una curva en un punto.

Como broche de oro, a veces se dice, de forma vehemente y enfática, que algo es matemático al querer indicar que es absolutamente cierto, indudable, ineludible, inexorable, infalible, incontrovertible, etc. aunque nadie lo haya demostrado. En parte, el autoritarismo se basa en arbitrarias premisas, que se toman como postulados, cuya reiteración mediática redundante convierte en axiomas para un amplio público poco crítico.
Parece, pues, que no podríamos hablar sin Geometría, pero deberíamos utilizarla para hablar con más precisión y mejorar la comunicación, aunque a veces, como se ha visto, se hace lo contrario. Aún así, comparando estas cornadas a la lengua con las del simple lenguaje de los móviles y los chats de Internet no hay color.

Por fortuna, algunas frases de origen matemático especialmente ridículas han desaparecido, por ejemplo, en mi niñez algunos cursis decían que fumaban cilindrines.

También han desaparecido, en el lenguaje del sexo o del amor algunas frases geométricas de tinte ofensivo. En la literatura erótica de principios del siglo XX se llamaban horizontales a las mujeres de cama fácil (disculpad la grosera expresión, que no es mía). Sin embargo en la Literatura y en el cine, tanto de calidad como en los bodrios televisivos abundan los triángulos amorosos, tal vez porque como decía Dumas: «la cadena del matrimonio pesa tanto que es preciso sean dos para llevarla, y, a veces, tres». Curiosamente, en el lenguaje ordinario, se habla de triángulo como colección de tres elementos, con independencia de su situación o posición relativa. No así en Geometría que se exige que no estén alineados. ¡Cuidado no confundir con alienados! Aunque los puntos alineados bien alienados están por ser ajenos al disfrute de total libertad de movimiento; tienen sólo un grado de libertad.

Pero en el lenguaje del amor parece que no rigen las leyes universales del Álgebra y de la Aritmética, ya que en el amor 1+1 es infinito mientras que 2–1 es cero, la nada más absoluta, el que ha amado y ha sufrido la pérdida de su amor lo sabe (Lope de Vega). Y si hay hijos 1+1=3, 4, 5. Y es que el amor es inefable y no sólo está más allá del Álgebra y de la Aritmética, sino que, parafraseando a Nietzche está  incluso más allá del bien y del mal.

Procedente del lenguaje matemático también tenemos tanto en la Literatura como en el lenguaje ordinario las expresiones circulares (circunloquio [rodeo redundante de palabras], las expresiones elípticas (elípsis: hecho sintáctico o estilístico que suprime o elude lo que se sobreentiende), las expresiones hiperbólicas (que son exageraciones) y las expresiones parabólicas (que ilustran una historia con comparaciones, alegorías y metáforas), aunque justo es reconocer, aludiendo a la Historia de las Matemáticas, en particular a la Historia de las Secciones Cónicas, que en este caso, primero fue la semántica de los vocablos en el lenguaje ordinario y después la acuñación –por Apolonio, posiblemente a sugerencia de Arquímedes– de los términos en el ámbito geométrico. Efectivamente, el nombre dado a las Cónicas por el gran geómetra griego, procede de que en el lenguaje pitagórico del Método de Aplicación de las Áreas para la solución geométrica de ecuaciones cuadráticas, que emulaba el significado lingüístico de Elíptico como deficiencia, de hiperbólico como excesivo y de parabólico como equiparable.

En el espectáculo por excelencia, el fútbol, tal vez para darle prestigio a algo tan trivial como la disputa de un objeto esférico por parte de dos grupos de personas, para introducirlo en una red de forma casi prismática, en los medios se dice que el jugador ha perdido la verticalidad al disparar el balón que ha pasado precisamente a llamarse de forma ridícula y ñoña como el Esférico, aunque en modo alguno sea una esfera. Para poner una nota de erudición sobre una afición tan sana cuando se practica y a veces tan demente y alienante cuando sólo se contempla, digamos que según el Fedón (110b) de Platón los griegos jugaban con balones de doce pieles en forma de dodecaedro que al hincharse se aproximaban a la forma esférica, lo que constituía un antecedente de nuestro balón de fútbol. Al principio de los tiempos modernos los balones de fútbol tenían forma de icosaedro truncado –poliedro arquimediano formado por 12 pentágonos y 20 hexágonos–, pero en la actualidad el balón oficial es un poliedro arquimediano (es decir, un poliedro inscriptible en una esfera, cuyas caras son polígonos regulares de varios tipos, aunque con la misma arista, siendo iguales todos los vértices del poliedro). Se trata del poliedro llamado RombIcosiDodecaedro menor formado por 20 triángulos, 30 cuadrados y 12 pentágonos. En este poliedro semirregular el tamaño de las caras está bastante igualado y es la forma poliédrica más redondeada, ya que es el que más se aproxima a la esfera circunscrita –ocupa más del 94% de esta esfera–.

Pocos sabios han tenido la gloria de ver adjetivado su nombre en el lenguaje coloquial. Los tres filósofos–matemáticos más importantes, Pitágoras, Platón y Descartes, elevan las ciencias matemáticas, cada uno en su época, a un sublime e imperecedero estadio de instrumento de cultura, es más, hacen de la Matemática el principal y más valioso elemento vertebrador de la cultura. Pitagórico se atribuye a algo o a alguien donde se advierte una marcada orientación filosófica o una singular capacidad matemática; Platónico ha pasado a ser equivalente a la pureza de lo ideal, espiritual o inmaterial, que se acentúan sobre todo cuando el adjetivo califica al amor; y Cartesiano ha pasado a ser sinónimo de racional y metódico, en el sentido de analítico y riguroso. Así se habla tanto de una sentencia pitagórica o un intelecto pitagórico, como de un sentimiento platónico, o una mente cartesiana.

La Matemática racional y la Filosofía, como contemplación objetiva (más allá de la poesía) del espectáculo (Theoria) del universo entero, tienen un origen común en los albores del siglo VI a.C. con el pronunciamiento pitagórico «el número es la esencia de todas las cosas» que conduce en el curso de los siglos al galileano «la naturaleza está escrita en lenguaje matemático» y culmina en la actualidad con la digitalización informática que reconvierte toda producción del intelecto humano en una sucesión de ceros y unos. Para Platón la Matemática es la imprescindible propedéutica para el ascenso a la Filosofía y para Descartes la Matemática es la base racional de todas las ciencias y la fuente de toda certidumbre. En toda época la Matemática es la clave de la explicación de los fenómenos naturales y se arroga una función de dar cuenta –aspira a «dar razón» en sentido filosófico– del orden natural, en un proceso que se inicia con Pitágoras, se afianza con Platón, se consolida con Descartes y desemboca en la Física de Galileo, Newton y Einstein (bien está recordarlo en el año de su centenario.




Matemática, Lenguaje y humor.

Vamos ahora a introducir un punto de humor con paradojas lógico-semánticas y expresiones inducidas por términos matemáticos aplicados en el lenguaje coloquial. No me atrevería a llamarlos chistes, pero me acercaré a ellos por su carácter sintético, enfático y lapidario, por la ambigüedad de los términos (en este caso matemáticos) y el doble o triple sentido de ellos. También veremos famosos disparates de exámenes de Matemáticas y juegos de palabras a modo de acertijos, enseñanzas, sentencias o citas que juegan con números y elementos matemáticos.

Como cualquier escolar sabe  .
Pues bien, he aquí la «demostración» más rigurosa de que «para tener medios hacen falta cuartos».
Decía B.Franklin: «Si el hombre pudiera alcanzar la mitad de sus deseos, duplicaría sus problemas».
Entre la clase política que nos gobierna está muy extendida la creencia de que:
«9 de cada 10 políticos están de acuerdo en que 1 de cada 10 políticos es un corrupto».
Paradojas en la naturaleza: «Las bacterias se multiplican dividiéndose».
Conversación en clase de  Matemáticas: «Me gustan los polinomios, pero solo hasta cierto grado».
Conversación entre matemáticos:
«Hay tres clases de matemáticos, los que ese equivocan al contar y los que no».
Un cubo a una esfera: «Nunca tendrás una esquina donde caerte muerta».
¿Cuál es animal con más de 2 patas y menos de 3?: «El pollo porque tiene dos y pico».
Animal con más de 3 ojos y menos de 4: «El –ojo (piojo)»
Las cuatro reglas en el matrimonio:
«Suma de obligaciones, resta de libertades, multiplicación de responsabilidades y división de bienes».
Las progresiones y la evolución
«Si todos tenemos 2 padres, 4 abuelos, 8 bisabuelos, 16 tatarabuelos, 32 tatatatarabuelos ... ¿cómo es posible que vengamos sólo de Adán y Eva?»
Perlas estadísticas:
Todos los políticos prometen antes de salir elegidos subir los sueldos, de forma que nadie cobre por debajo de la media nacional.
No tener hijos es hereditario; si tus padres no tuvieron hijos, lo mas probable es que tu tampoco los tengas.
La tasa de natalidad es doble de la tasa de mortalidad; por lo tanto, una de cada dos personas es inmortal.
El 20 por ciento de las personas muere a causa del tabaco. Por lo tanto, el 80 por ciento de las personas muere por no fumar. Así que queda demostrado que no fumar es peor que fumar.
La probabilidad de tener un accidente de tráfico aumenta con el tiempo que te pases en la calle. Por tanto, cuanto más rápido circules, menor es la probabilidad de que tengas un accidente.
El 33 % de los accidentes mortales involucran a alguien que ha bebido. Por tanto, el 67 % restante ha sido causado por alguien que no había bebido. A la vista de esto, esta claro que la forma más segura de conducir es ir borracho y a toda pastilla.

Disparates en exámenes:
Polígono: «Hombre que anda con muchas mujeres».
¿Qué es un círculo? «Un polígono de dos lados: el de dentro y el de fuera».
Qué es la hipotenusa: «Lo que está entre los dos paletos».
Area del triángulo:
«Es igual a la cuarta parte de la mitad de su lado por la semisuma de la raíz cuadrada de tres».
Los cuatro evangelistas son tres: San Pedro y San Pablo.
Refrán: «Cifra eres y nada más, según donde estés, así valdrás».

Matemática, Lenguaje y Literatura. 

A lo largo de la Historia muchos matemáticos han realizado notables aplicaciones a la Literatura, algunas de ellas de primera categoría. Muchos de los Diálogos de Platón (la República, el Timeo, el Menón,...) y varias obras de Descartes (El Discurso del Método, Las Reglas para la Dirección del Espíritu, La Geometría) que sitúan a la Matemática en el centro de atención,son auténticas joyas de la Literatura universal.
Según Platón. República (525d–527b).

«La Aritmética fuerza el alma a servirse de la inteligencia pura para alcanzar la verdad en sí. [...] La Geometría conduce a una contemplación más factible de la idea del Bien. Dirigirá el alma hacia la verdad y dispondrá la mente del filósofo para que eleve su mirada hacia arriba.»

Según Descartes. Discurso del Método (DM.AT.VI.19).

«Esas largas cadenas trabadas de razones muy simples y fáciles, que los geómetras acostumbran a emplear para llegar a sus más difíciles demostraciones, me habían dado ocasión para imaginar que todas las cosas que entran en la esfera del conocimiento humano se encadenan de la misma manera.»

Pero también en los tiempos modernos excelentes escritores, que también son filósofos y matemáticos, como el famoso político y literato, José Echegaray (Premio Nobel de Literatura, 19504), Bertran Russell (Premio Nobel de Literatura, 1950) y O.Spengler, ponderan el argumento matemático en sus escritos. Las famosas obras: Historia de la Filosofía Occidental de B.Russell (recientemente reeditaba en 2005, por RBA) y La decadencia de Occidente de O.Spengler realizan una rigurosa incardinación de la Matemática en la Historia de la Cultura con profundas reflexiones sobre la incidencia de las ciencias matemáticas en la propia forja de la Cultura y el Pensamiento.

Digno es de mencionar, entre otras muchas, interesantes obras literarias escritas por matemáticos como por ejemplo: De propria vita de Cardano, Pensamientos de B.Pascal, Alicia en el País de las Maravillas de L.Carroll, Una infancia rusa de S.Kovaleskaya, Apología de un matemático de G.H.Hardy.
También podemos citar obras no escritas por matemáticos donde la Matemática juega un cierto papel como Planilandia de E.Abbott, El Aleph de J.L.Borges, Kepler de A Koestler, Congreso en Estocolmo de J.L. Sampedro, ... .

Un paso más allá en los últimos tiempos es el ensayo o la novela donde la Matemática es protagonista o al menos un personaje importante, por ejemplo: El hombre que calculaba de M.Tahan, El tío Petros y la conjetura de Goldbach de A.Doxiadis, El teorema del loro de D.Guedj, El diablo de los números de H.M.Enzensberger, El enigma de Fermat de S.Singh, El sueño de Descartes de P.J.Davis, Érase una vez un número de.A.Paulos, La mesura del món de D.Guedj, Damunt les espatlles dels gegants de J.Pla, ... .
En el ámbito de la cinematografía la Matemática o el matemático es protagonista, entre otras películas, en Las dos caras del amor, Perros de paja y la reciente Una mente maravillosa.

Matemáticas en el Quijote.

En un año en que celebramos el cuarto centenario de la publicación de la primera parte del Quijote, debemos aludir a las Matemáticas que hay en la obra de Cervantes. Las hay, en efecto, en cuestiones de cálculo, números, medidas y proporciones, problemas e incluso Astronomía, así como alusiones a la utilidad de las diversas ciencias matemáticas. Veamos algunos textos indicativos:
2ª Parte, Cap. XVIII. Referente a la ciencia de la Caballería:
El caballero andante entre otras muchas cosas «ha de saber matemáticas, porque a cada paso se le ofrecerá tener necesidad de ellas».
2ª Parte, Cap. XX. Confrontación del Licenciado de Salamanca y el Bachiller Corchuelo:
El Bachiller al Licenciado: «Apearos y usad de vuestro compás de pies, de vuestros círculos y vuestros ángulos y ciencia, que yo espero haceros ver estrellas con mi destreza.».
Texto: «En lo que faltaba del camino les fue contando el licenciado las excelencias de la espada con tantas razones demostrativas y con tantas figuras y demostraciones matemáticas, que todos quedaron enterados de la bondad de la ciencia [...].

1ª Parte, Cap. XXXIII. Orientaciones metodológicas para la conversión de infieles:
«Les han de traer ejemplos palpables, fáciles, inteligibles, demostrativos, indubitables, con demostraciones matemáticas que no se pueden negar, como cuando dicen: “Si de dos partes iguales quitamos partes iguales, las que quedan son iguales” [Euclides, Axioma 3]; y, cuando esto no entiendan de palabra, como en efecto, no lo entienden, háseles de mostrar con las manos [...]».

Lo de «mostrar con las manos» no sabemos si se refiere a la utilización de técnicas docentes más activas, mas prácticas con recursos manuales experimentales y manipulativos, o si más bien tiene que ver con los tradicionales métodos inductivos y deductivos de las Matemáticas, de modo que habría que añadir el “método de demostración por coacción”.

Os voy a obsequiar ahora con un par de fábulas en forma poesías matemáticas de las que podemos deducir una sagaz moraleja.



Matemática, Lenguaje y Educación. 

Una de las características del lenguaje matemático es su univocidad y ausencia total de ambigüedad. Toda sintaxis matemática se aplica a objetos y entidades perfectamente definidos sin ningún tipo de duda sobre su esencia ontológica, porque previamente se ha sometido a una férrea definición que precisa, determina, concreta, especifica, delimita, e individualiza las características del objeto en cuestión.

Además, los argumentos matemáticos se establecen con la demostración que los convierte en incontrovertibles, en verdades eternas y universales. Con la emergencia de la demostración como exigencia intelectual, aparece la Matemática racional en el horizonte del siglo VI a.C., siendo este fenómeno cultural un hito esencial en el tránsito del mito al logos que tiene lugar en la cultura griega, por eso se le considera la aportación fundamental del Pitagorismo a la Matemática, valorado siempre muy por encima de sus magníficas contribuciones particulares en ámbitos concretos de esta ciencia que todavía hoy nutren los libros de matemáticas elementales. La demostración va mucho más allá de la mera persuasión de la Retórica en la que los griegos eran grandes maestros, pues, es posible con persuasión argüir lo falso contra lo verdadero como hacen habitualmente los políticos, que según la coyuntura de gobierno o de oposición se atreven a defender un argumento y su contrario (de ahí los reproches de Sócrates hacia los sofistas). La demostración matemática convence por la ilación argumental irrefutable que alcanza algo legítimo mientras no se pongan en entredicho las leyes de la Lógica. Por eso a partir de Pitágoras la Matemática es universalmente considerada como un manantial primario de verdad objetiva.

Definición y Demostración caracterizan y singularizan la actividad matemática frente al resto de todas las demás actividades humanas. En ellas se basa la importancia de la Matemática en la Educación y el prestigio general que tiene la ciencia matemática en todo tipo de público frente a la argumentación retórica falaz que desprestigia a la Política, por ejemplo. Por eso, es frecuente, como ya hemos apuntado antes, escuchar la expresión ¡Esto es matemático! como una enfática y apasionada afirmación de que es una verdad absoluta e incontestable. Los matemáticos sabemos que ello no se ajusta completamente a la realidad matemática, porque ésta también es relativa. Sí, la realidad matemática también es relativa a las premisas más o menos arbitrarias admitidas a priori sobre las que se construye el magnífico edificio de la Matemática.

Para Platón (República, VII, 521-527) la Matemática es un instrumento esencial para la educación e instrucción de la juventud. Su maestro de Geometría en la Magna Grecia, Arquitas de Tarento, como político había establecido la Matemática como componente esencial del currículum escolar, instituyendo las cuatro Ciencias (Artes Liberales) del Quadrivium pitagórico –Aritmética, Geometría, Música y Astronomía–, sancionado por Platón en La República y de vigencia secular casi hasta nuestros días. Casi dos siglos antes, y en el origen, Pitágoras, acuña, como se sabe, el término Filosofía –amor a la sabiduría– y también –lo que no se conoce tanto–, el término Mathema vinculado al significado de conocer o aprender, pero no a un ámbito específico del saber, sino al saber en sí mismo, es decir, Mathema es «lo que se puede aprender», lo formativo, «lo enseñable por antonomasia». A partir de entonces, en el mundo griego, la Matemática es la encarnación del conocimiento, según Platón mediante reminiscencia (el aprendizaje es un recuerdo promovido por la Educación, que fructifica cuando el Profesor alumbra el conocimiento en el alumno mediante una serie de cuestiones y preguntas bien hilvanadas [de forma heurística] Menón, 82b-85b). Así pues, la Matemática sería una actividad intelectual no vinculada a un espacio cultural concreto y particular del saber, sino al conocimiento en sí mismo, y anterior, como base, a todo otro conocimiento, de ahí los estrechos vínculos primigenios de la Matemática con la Filosofía, como actividades intelectuales que no sólo tendrían un origen común, sino que en el nacimiento de la Matemática racional en Grecia se realiza la condición de la Filosofía de dar cuenta o razón de la realidad. Precisamente, dar cuenta y dar razón, son términos matemáticos.

A partir de aquí podemos entender la trascendencia que siempre ha tenido y tiene la Educación matemática como materia obligatoria en todos los niveles de todos los sistemas educativos de todos los países con independencia del régimen político. Y nosotros, Profesores de Matemáticas, es decir, profesionales de la transmisión del conocimiento matemático, como herederos del mundo clásico, enfatizamos con vehemencia las cualidades de las Matemáticas:

La capacidad para manejar la cantidad y la extensión, la lógica y la intuición, la inducción y la deducción, la observación y la imaginación, la curiosidad y la iniciativa, la invención y el descubrimiento, el análisis y la síntesis, la generalidad y la particularidad, la abstracción y la concreción, la precisión y la exactitud, la interpolación y la extrapolación, la estructura y la implicación, la decisión y la construcción, la armonía y la creatividad, la interpretación y la descripción, la belleza y la utilidad, la regularidad y la disposición, ..., siempre bajo la acción del entendimiento y el imperio de la voluntad.
Estas características a las Matemáticas hacen de ella una herramienta básica y esencial en la Educación del ciudadano como instrumento fundamental de forjado no sólo de las estructuras intelectuales del ser humano, sino también de las diversas facultades, aptitudes y actitudes.

La idiosincrasia de la Matemática alimenta su función informativa que permite:
Adquirir un conjunto de conocimientos que hace posible familiarizarse con el mundo natural circundante, con herramientas para interpretar el mundo físico, natural y social, en términos cuantitativos y abstractos,
pero sobre todo, por imperativo platónico, Las Matemáticas tiene una función formativa para:
Desarrollar el pensamiento crítico y el rigor científico, inculcar una disciplina mental con la que operar sobre cualquier tipo de pensamiento o de situación y a través de la resolución de problemas desarrollar la iniciativa personal y la fortaleza para vencer obstáculos, estimulando la voluntad.
La Matemática incide así decisivamente sobre el binomio entendimiento voluntad que es la matriz del espíritu humano, de ahí la implicación esencial que como en los tiempos de Platón tiene, hoy y siempre, la Matemática en la Educación.
O.Spengler (en su famosa obra La decadencia de Occidente, cap.I.1 [El sentido de los números], Austral, Madrid, 1998, pp141, 142) define de forma casi apocalíptica el acceso intelectual del niño a la Matemática y al idioma:

«El momento en que comienza la comprensión del número y del idioma se caracteriza por una profunda experiencia íntima, verdadero despertar del yo, que de un niño hace un hombre, un miembro de una cultura. [...] A partir de ese momento existen propiedades bien determinables, conceptos, un nexo causal, un sistema del mundo circundante, una forma del mundo, leyes del mundo, [...]. La ley es lo sometido a números. En ese momento se produce un sentimiento súbito y casi metafísico de temor y respeto a lo que significan profundamente las palabras “medir”, “contar”, “dibujar”, “formar”.»
Ya hemos dicho que Matemática en griego significa «lo que se puede aprender». Entonces, ¿por qué hay la conciencia de que son tan difíciles? Por varias razones, consecuencia de la naturaleza y características singulares de esta ciencia.

Porque aunque se aplica a aspectos muy concretos requiere un alto nivel de abstracción.
Porque son una ciencia progresiva y acumulativa, un complejo edificio en el que no se puede ascender a un nivel superior sin haber consolidado todos los inferiores.
Porque tienen un lenguaje propio, preciso, exacto y simbólico.

Estas cuestiones vinculadas a las Matemáticas exigen que para obtener fruto en su cultivo se precise en grado sumo paciencia (que como término es el acrónimo de paz y ciencia, Paciencia = Paz + Ciencia), tranquilidad, reflexión, concentración y curiosidad.

Como veis no he mencionado aspectos vinculados a la inteligencia, no es que no sean necesarios o convenientes para estudiar Matemáticas. Una brillante inteligencia es conveniente para hacer cualquier tarea humana con calidad y también para triunfar en Matemáticas, pero no es imprescindible. Por su propia naturaleza, que acabamos de puntualizar, para estudiar con éxito en Matemáticas, son más importantes los aspectos humanos vinculados a la voluntad, como los mencionados: la paciencia, la perseverancia, la constancia, la persistencia, la tenacidad, la firmeza, el tesón, la entereza, la dedicación, el empeño; todos ellos son ineludibles para alcanzar y mantener la concentración, la reflexión y la curiosidad que requieren el estudio de las Matemáticas

Mas aún para triunfar en algo, más allá del azar y la fortuna, se necesita la motivación que proporciona la posibilidad de recoger los frutos enseguida. Pero debido a la propia naturaleza de las Matemáticas que hemos ido describiendo, el fruto no es inmediato, sino que se consigue a largo plazo, es como en la Agricultura. Para tener éxito en Matemáticas tenemos que trabajar asiduamente con esfuerzo, sembrando el campo de la voluntad donde, según Descartes (Reglas para la dirección del espíritu, Regla IV) se planta la semilla intelectual que tenemos en nuestra mente.

Frente al «lo quiero todo, ahora y fácilmente» que plantean los jóvenes, la consecución de logros en Matemáticas requiere tener conciencia de que:

Frente al «lo quiero todo» sólo tendré lo que puedo alcanzar con mi dedicación y esfuerzo.
Frente al «lo quiero ahora» sólo obtendré el fruto, poco a poco, y a medida de mi capacidad de asimilar con mi esfuerzo.
Frente al «lo quiero fácilmente » hay que saber que no existe más camino que el del trabajo y el esfuerzo personal.

Cuenta una famosa leyenda, relatada por el filósofo neoplatónico Proclo de Alejandría, una conversación entre el rey Ptolomeo de Egipto y su asalariado como Profesor de Matemáticas del Museo, Euclides:
«El rey Ptolomeo preguntó cierto día a Euclides si no había un camino más corto para la Geometría que Los Elementos; obtuvo la siguiente respuesta: "En la Geometría no hay camino para los reyes".»

Como deducimos de esta anécdota real, esfuerzo, más esfuerzo y sólo esfuerzo exige el aprendizaje de las Matemáticas.,No se ha inventado otro camino para adquirir el conocimiento inmediato y la formación adecuada.

La formación es incluso más importante que el conocimiento. Sabéis que la formación permanece y es la herramienta con la que nos enfrentamos al mundo para comprenderlo y transformarlo, mientras que el conocimiento puede ser pasajero, es decir, puede que en nuestra vida adulta no nos acordemos de tal o cual teorema, pero si en su momento lo asimilamos, sabremos, donde encontrar la fuente para recordarlo, y sobre todo, y lo más importante, gracias al estudio de ese teorema y las cuestiones vinculadas a él, tendremos a nuestra disposición y para siempre una serie de habilidades mentales y destrezas intelectuales, que las necesitamos para desarrollar con dignidad y calidad otros muchos aspectos de nuestra existencia. Aquí es donde reside la importancia capital de la Educación matemática, en la preparación y formación integral de la persona, a la que contribuye de forma definitiva.

Permitidme, finalmente, recitaros un soneto de versos alejandrinos que compuse en un momento de devoción mística hacia la figura matemática iniciática de Pitágoras:


SONETO A PITÁGORAS

Tu Teorema me enseñó a amar la Geometría
y desde ésta aprendí a adorar la Matemática
quise hacer la existencia menos enigmática
con Platón pensando entrar en la Filosofía.

Pitágoras, ayúdame a alcanzar la armonía
a que la vida sea menos problemática
siendo el estudio y el amor nuestra pragmática
concediéndonos parte de tu sabiduría.

Apliquemos en todo tu divina proporción
no sintamos temor hacia lo inconmensurable
al transmitir estos valores en  la educación.

Tu doctrina nos enseña lo que es demostrable
Tus números y poliedros engendran percepción
Por eso tu magisterio ha sido perdurable.



Pedro Miguel González Urbaneja


Fuente: http://phobos.xtec.net/a8013135/files/Llico0506PMGU.doc

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