domingo, 10 de enero de 2010

LA EDUCACIÓN MATEMÁTICA EN EL TERCER MILENIO



David Palomino Alva

Un viaje al pasado, para entender el presente

La ciudad de Konigsberg está situada a orillas del río Pregel y  sobre dos de sus islas, las diversas partes de la ciudad se conectan entre sí por medio de siete puentes. Un turista quiere dar un paseo por la ciudad , pero desea partir de un punto cualquiera , atravesar una sola vez por cada uno de los puentes, y regresar al punto de partida. ¿Es posible realizar este paseo?

Este acertijo, en apariencia creado sólo para aguzar el ingenio, cautivó la atención de el celebre matemático suizo Leonhard Euler quien en 1736 publicó una memoria en la cual le daba solución, las nuevas ideas que Euler planteó en la solución al acertijo dieron comienzo a lo que hoy conocemos como Teoría de grafos, una rama de la matemática discreta que tiene amplias aplicaciones en diferentes campos del quehacer humano, desde problemas de transporte, hasta la asignación de horarios de trabajo en cadenas comerciales.

En otro país , y en otro tiempo, un  jugador empedernido Antoine de Gambaud, caballero de Meré, ha estado jugando con un amigo el siguiente juego:

Se lanza una moneda. Gambaud gana si sale cara, su amigo gana si sale cruz. El primero que gane cinco veces cobrará el pozo de 4200 francos franceses.

El juego tuvo que detenerse después de siete lanzamientos, en ese momento Gambaud ha ganado 4 veces y su oponente sólo 3. ¿Cómo deberá repartirse el premio? Un reparto proporcional no consideraría el hecho que a Gambaud le falta sólo un punto, mientras que a su oponente dos.

Intrigado, el caballero de Meré  envió este problema a su amigo Blas  Pascal. Esta comunicación inició la investigación, desde el punto de vista matemático, de la incertidumbre y el azar. Las cartas que sobre este problema intercambiaron Pascal y el matemático Pierre de Fermat sentaron las bases de la teoría de probabilidades, de tanta importancia en el mundo moderno.

Finalicemos nuestro breve viaje a través de la historia, ubicándonos en los Estados Unidos en tiempos de la Segunda Guerra Mundial, allí un hombre, George Dantzig, está al mando de la asignación de recursos de las tropas norteamericanas, debe optimizar y racionar una gran cantidad de recursos; en la mente de este hombre surge la necesidad de resolver de alguna forma automatizada esta asignación de recursos,  poco a poco irá concibiendo las ideas de lo que luego llamaríamos el Método Simplex, y así establecerá las bases de la  programación lineal, rama de la matemática aplicada que tiene un desarrollo sostenido en la actualidad.

Como hemos apreciado en los tres ejemplos mostrados, la matemática avanza gracias a que la realidad nos plantea desafíos por enfrentar, problemas por resolver, son ellos los que la revitalizan, los que le dan el impulso necesario, los que ayudan a movilizar el gran y complejo engranaje mental en las mentes creativas de los matemáticos de todos los tiempos.

Muchos nuevos conceptos y formas nuevas de pensamiento, aparecen en los intentos por resolver una situación, algunas veces hay que elaborar una nueva teoría, y esta a su vez generará nuevos problemas por resolver. Vemos entonces que la matemática es una ciencia dinámica en continua expansión donde las situaciones abiertas pueden surgir a la vuelta de la esquina. Demás esta decir que existen muchos problemas que aún hoy no han podido ser resueltos, algunos son muy elementales en su enunciado, sin embargo su solución parecer entrever complicaciones de gran nivel.

Un ejemplo de ello es la Conjetura de Twhites: Tome un número cualquiera, si el número es impar multiplíquelo por tres y luego agregue 1, si es par  divídalo por dos. , continúe haciéndolo, la conjetura de Twhitwes dice que en algún momento de este proceso se llegará al ciclo 4,2,1,4,2,1,4, ... Veamos por ejemplo con tres: Las serie obtenida es :   3,10,5,16,8, 4,2,1,4,2,1,.....

Este problema aparentemente muy sencillo  ha vencido a todos aquellos que intentaron enfrentársele. Sin embargo, aún los intentos frustrados hacen avanzar la matemática, algunas nuevas ideas que surgen de estos intentos, solucionan otros problemas o ayudan a la mejor comprensión de otros aspectos de la disciplina.

Matemática: una aventura intelectual

En sí la matemática durante el proceso de creación tiene mucho de intuitivo y experimental, el matemático ensaya caminos, los prueba, los evalúa y decide continuar por él o variar su enfoque, algunas veces logra el camino adecuado, pero otras no, en todo este proceso el matemático ha experimentado diversas emociones, a veces de frustración otras de alegría. Quién no ha experimentado una gran satisfacción cuando resolvemos un enigma , o un rompecabezas que se nos ha planteado. Y es que la matemática es una interesante aventura del pensamiento humano, que vehicula múltiples emociones , que forma nuestra mente, y que hoy es el medio más eficaz de comunicación de ideas científicas.

Llegamos así al centro de nuestro planteamiento, ¿en qué consiste la matemática realmente? ¿para qué es útil? Ya lo dijo sabiamente el matemático Paul Halmos:

¿Consiste la matemática en aprender axiomas , como  el de las paralelas? ¿teoremas? , ¿definiciones?, ¿teorías? , ¿fórmulas?,  ¿métodos? Las matemáticas no podrían existir sin estos ingredientes; son esenciales, sin embargo , es posible argüir que ninguno de ellos está en el corazón del tema y que la principal razón para la existencia de los matemáticos es para que resuelvan problemas y que esto, por consiguiente, es en lo que realmente consiste la matemática : problemas y soluciones. (sic)

Por todo lo dicho anteriormente creemos que una educación matemática de calidad debe llevar al salón de clase el verdadero quehacer matemático, saber matemáticas es hacer matemáticas. La actividad del matemático está signada por la búsqueda, la experimentación, la conjetura, posterior a esto el matemático empieza a formalizar sus resultados, a expresarlo mediante símbolos, a depurarlo. Presentar en una clase estos resultados inmaculados, perfectos, aniquilan la creatividad, y matan la aventura, pues todo lo hermoso del periodo de búsqueda es ocultado en la trastienda, es como leer un relato policial sabiendo de antemano la solución del enigma.

El acercamiento intuitivo y experimental es pues lo esencial si queremos que los estudiantes desarrollen competencias matemáticas, es ésta la forma como un profesor debería llevar su clase, partiendo de situaciones que motiven a sus estudiantes a investigar, proponiéndoles desafíos que los cuestionen sobre su conocimiento ya adquirido, y de allí partir para adquirir los nuevos conocimientos, en una constante comunicación  con el grupo y con el maestro que guiará eficientemente el trabajo .

Un camino difícil
La didáctica  de la matemática ha pasado por diversos momentos  que han sugerido cambios en los contenidos  y la forma de enseñarlas. El formalismo del grupo Bourbaki, quienes se habían dedicado a la elaboración de una obra magna sobre los fundamentos de la matemática, tuvo mucha influencia en la forma como se llevó a cabo la educación matemática en la década del sesenta. Este movimiento reformista al que se le conoció como la matemática moderna,  recomendaba dar mayor énfasis a las estructuras, al lenguaje formal, y los métodos de demostración. El resultado:  muchos alumnos repetían de memoria las propiedades de los sistemas numéricos sin comprender su significado, ni poder  operar eficientemente.

En la siguiente década, la preocupación estuvo centrada en desarrollar en los alumnos técnicas y rutinas básicas, el movimiento se denominó retorno a lo básico, y daba mayor importancia al manejo de operaciones fundamentales y procedimientos algorítmicos; sin embargo, este regreso a lo básico  tampoco mejoró el aprovechamiento de los estudiantes, ya que aún cuando algunos estudiantes eran capaces de hacer operaciones, muchas veces no entendían el significado  o sentido de las respuestas que obtenían, y si un alumno no puede asignar significado a lo que está aprendiendo pronto recurrirá a patrones mnemotécnicos para tener éxito en su empresa.

En la década de los ochenta, una  evaluación del currículo en USA  puso de manifiesto  que los estudiantes no sabían aplicar sus conocimientos a la resolución de problemas de la vida real, ello dio lugar a que el  National Council of Teachers of Mathematics (NCTM) declarara que la resolución de problemas debía ser el centro de la enseñanza-aprendizaje  de la matemática.

En los noventa se profundiza el enfoque desde la resolución de problemas, y aparecen otras tendencias como la Modelización ,o el Problem Based Learning,  en todos ellos el énfasis está puesto en el manejo de estrategias heurísticas, en el desarrollo de habilidades mentales, en mejorar los procesos  típicamente útiles en la solución de situaciones problemas. Todos reconocen que en el estudio de la matemática, la actividad de resolver y formular problemas desempeña un papel muy importante cuando se discuten las estrategias y el significado de las soluciones.
En estas corrientes actuales de la Educación Matemática, que se han agrupado con el nombre   de Matemática para el siglo XXI se señala que la matemática es, sobre todo, saber hacer, es una ciencia en la que el método claramente predomina sobre el contenido, que conocer matemática es hacer matemática, y que ellas son un eficaz medio de comunicación.

Citaré aquí un párrafo del Dr. Miguel de Guzmán que resume magistralmente las consideraciones anteriores.

En la situación de cambios en  que nos encontramos, es claro que los procesos verdaderamente eficaces de pensamiento, que no se vuelven obsoletos con tanta rapidez, es lo más valioso que podemos proporcionar a nuestros alumnos. En nuestro mundo científico e intelectual tan rápidamente mutante vale mucho más hacer acopio de procesos de pensamiento útiles que de contenidos que rápidamente se convierten en lo que Whitehead llamó “ideas inertes”, ideas que forman un pesado lastre, que no son capaces de combinarse con otras para formar constelaciones dinámicas, capaces de abordar los problemas del presente. (Miguel de Guzmán, JAEM,1994)
 
En el valle del silicio
En un mundo donde los avances tecnológicos son el pan de cada día, la escuela no puede estar al margen de ellos. Actualmente el uso inteligente de las calculadoras y computadores proveen al estudiante de herramientas específicas de cálculo, que le permiten  dedicar más tiempo al proceso de búsqueda critica de caminos de solución a situaciones propuestas, que a las operaciones repetitivas.

Las calculadoras en el aula son un medio eficaz de representación externa que brindan al estudiante la posibilidad de explorar, comprobar conjeturas, buscar regularidades, de manera rápida y eficiente. Además permiten resolver problemas por ensayo y error e introducir conceptos. La literatura sobre actividades matemáticas usando la computadora crece día a día, en la internet se brinda software educativo gratuito , para graficar funciones, para explorar lugares geométricos, para simular experimentos aleatorios etc. Un profesor moderno debería conocer y manejar estos programas con el fin de diseñar actividades de aprendizajes que permitan el uso de las computadoras como medio de  resolución de situaciones problemáticas.

La ubicuidad de las computadoras, es un punto más a favor de privilegiar el desarrollo de habilidades matemáticas versus el completar contenidos programáticos. Hasta hace unas décadas  saber calcular abría las puertas de los trabajos, hoy eso no será suficiente, pues las máquinas lo hacen más rápido  y mucho mejor que nosotros.

La unión hace la fuerza

Actualmente es muy difícil, sino imposible, ser un Pitágoras, o un Arquímedes, las épocas en que los científicos trabajaban en solitario, sin interacción con las comunidades científicas son cosa del pasado, basta ver las revistas especializadas en investigación científica y comprobar que la mayoría de trabajos de envergadura son realizados por grupos multidisciplinarios, en un contexto más próximo podemos afirmar que para lograr éxito en un empleo es fundamental tener habilidades sociales y aprender a trabajar en grupo, compartiendo el conocimiento, siendo tolerante, sabiendo apreciar otras formas de razonamiento,  poniendo al servicio del colectivo nuestras potencialidades y complementándolas con las del resto.

Hace unos años las clases de matemática se realizaban en el más absoluto silencio, y con cada alumno perfectamente ubicado en su carpeta, sin posibilidad de comentar sus ideas e intercambiar experiencias, hoy la mayoría de los investigadores  recomienda y promueve el uso del aprendizaje cooperativo, que resulta más eficiente que el trabajo individual por varias razones, citaremos algunas de ellas para la reflexión :

El trabajo grupal reduce  realmente el tamaño de clase , si la típica clase tuviese 40 estudiantes, con  grupos de cuatro, constará de diez  “estudiantes”. Cuando una mano se levanta, sabremos que  hay cuatro interesados oyentes esperando una orientación.  A través de la verbalización ellos aprenden cómo hacer preguntas de exploración;  aprenden también cómo explicar sus propios procesos de razonamiento. Muchos estudiantes, quienes nunca hubieran podido plantear una pregunta  frente a cuarenta personas, son motivados, se deciden a preguntar dentro de su grupo;  esto es, el grupo promueve el razonamiento creativo y cada uno se siente seguro de usar métodos de ensayo y error, y diversas estrategias para resolver la situación que se está explorando.

Este ambiente abierto y de apoyo reduce fuertemente la ansiedad. Los estudiantes y el profesor entran rápidamente en un proceso de retroalimentación, el profesor de este modo se convierte también en un aprendiz de su propia pedagogía.

¡Hagan juego, señores!

Jugar es una actividad universal, la cual ha estado siempre presente en todas las culturas y acompaña el desarrollo de la humanidad. Platón decía: "enseñadles mediante juegos"; tal consejo ha sido invocado muchas veces por educadores, quienes han tratado de introducir sistemáticamente actividades lúdicas en la educación formal. En todos los niveles educativos debemos aprovechar las ventajas que ofrece el uso de juegos, pues generan un contexto emocional y afectivo muy propicio para el desarrollo de ideas matemáticas, crear un clima de actividad matemática en el aula y puede llevar sutilmente a los alumnos a investigar nuevas técnicas para resolver problemas, proponer temas de investigación, elaborar conjeturas, etc.

El juego es activo y participativo por naturaleza, favorece la comunicación horizontal, despierta la curiosidad y el interés por la investigación, desarrolla habilidades concretas de pensamiento estratégico, planificación, toma de decisiones, estimación y demostración, además brinda oportunidades para aprender y así obtener reconocimiento y autoestima. Los juegos, adecuadamente utilizados, pueden remplazar ventajosamente algunos trabajos prácticos rutinarios (ejercicios) por un proceso automotivante.

Los juegos han sido y son, muy importantes en el desarrollo de la matemática; la investigación de algunos de ellos, han llevado a la creación de importantes teorías, no es pues sorprendente, entonces, el interés que matemáticos de renombre mostraron por el estudio de los rompecabezas, paradojas , juegos de estrategia y otras manifestaciones lúdicas de la matemática.

A modo de reflexión, creemos interesante citar aquí a Martín Gardner, gran divulgador matemático e inventor de juegos, quien señala en uno de sus libros: "El mejor método para mantener atento a un estudiante es seguramente proponerle un juego matemático intrigante, un rompecabezas, un truco mágico, una chanza, una paradoja, un modelo o cualquiera de esas mil cosas que provee la matemática recreativa y que algunos profesores serios y aburridos rechazan por considerarlas frivolidades."

¿Cómo surgieron las cosas?

La historia de la matemática está llena de anécdotas, de problemas interesantes que pueden motivar a los jóvenes a estudiarla y desarrollar actitudes positivas hacia ella, el uso de tópicos de historia de la matemática, de biografías de matemáticos , permite acercarnos a esta ciencia desde un punto de vista humano, ayuda también a que los estudiantes comprendan que la matemática es simplemente una actividad  creada por seres humanos iguales a ellos ,que desarrollaron ideas creativas y resolvieron situaciones que en su tiempo eran importantes, pero que en otros momentos sufrieron frustración, y desengaño al no poder resolver los problemas que se plantearon, o porque la sociedad no estaba preparada para sus ideas renovadoras, o porque, como en el caso de la mujeres matemáticas, sufrieron la marginación de las comunidades científicas de la época.

Es sumamente útil explorar con nuestros alumnos la génesis de un concepto, las dificultades con las que tuvieron que enfrentarse estos investigadores y las  ideas que surgieron al enfrentar una  situación nueva, todos estos hechos encarnan una verdadera aventura intelectual que muchas veces se deja de lado en las clases tradicionales donde un tema aparece presentado de manera acabada e inerte, sin posibilidad de descubrimiento, ni crítica.

Finalmente....

De estos comentarios podemos inferir que lo que un profesor debe conseguir en sus alumnos es que desarrollen habilidades de pensamiento útiles en la solución de problemas, que razonen lógicamente, que puedan comunicarse haciendo uso del lenguaje matemático, y que establezcan conexiones con las otras disciplinas. Todo ello en una permanente actitud reflexiva, de indagación y búsqueda , sin perder de vista el medio en el cual se desarrollan.

Es cierto que para algunos puede ser mucho más sencillo escribir en la pizarra símbolos extraños y que los alumnos desde una posición subordinada copien estos símbolos, muchas veces sin comprender su significado; pero creemos que el esfuerzo de muchos docentes peruanos que han hecho suyas estas ideas renovadoras logrará encaminar el futuro de la educación matemática en el Perú hacia un desarrollo sostenido, en el que nuestros niños y jóvenes sean los principales beneficiarios de esta nueva visión.

Fuente: http://tegperu.brinkster.net/SOPEMAT/userfiles/file/Articulos/educacion%20matematica%20en%20el%20sxxi.doc

BIBLIOGRAFÍA

Bolt, B. (1985) Exploraciones matemáticas, Editorial Labor, Barcelona.
Gardner, M. (1985) Nuevos pasatiempos matemáticos, Alianza Editorial, Madrid.
de Guzmán, M. (1994) Tendencias Innovadoras en Educación Matemática,  Notas de las JAEM.
Mason,  J. y Burton,  L. (1995)  Pensar matemáticamente, Editorial Labor, Barcelona.
Perero, M. (1985) Historia e historias de matemáticos, GEI, México.

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