domingo, 13 de diciembre de 2009

La Comprensión Matemática en la Resolución de Problemas.

Por: Armando, Sepúlveda.

Publication Type: Conference Paper/Unpublished Manuscript
Review Method: Peer Reviewed

Abstract: Propuestas recientes del currículo matemático sugieren organizar el aprendizaje de las matemáticas alrededor de la resolución de problemas (NCTM, 2000). Así, resulta relevante que los estudiantes desarrollen distintos recursos y estrategias para plantear y resolver diferentes tipos de problemas. Además, se reconoce la necesidad de crear un ambiente de instrucción donde los estudiantes tengan oportunidad de presentar sus ideas, escuchar y examinar ideas de otros, para robustecer constantemente su comprensión de los contenidos matemáticos y fortalecer su habilidad para resolver problemas. En este estudio nos interesa documentar los procesos de pensamiento que siguieron los estudiantes, cuando trabajaron un conjunto de tareas diseñadas con ciertos principios: que sean fáciles de entender y de interés para los estudiantes, que involucren conceptos e ideas fundamentales del currículum y que estén planteadas de manera que el trabajo de los estudiantes pueda ser analizado y documentado (Balanced Assessment Package for the Mathematics Curriculum, 1999, 2000).

Marco Conceptual, Participantes, Métodos de Investigación y Procedimientos

Aprender matemáticas es un proceso continuo que se favorece en un ambiente de resolución de problemas (Schoenfeld, 1998), donde los estudiantes tienen oportunidad de desarrollar formas de pensar consistentes con el quehacer de la disciplina. En este contexto, conceptualizan la disciplina en términos de preguntas o dilemas que necesitan ser examinados, explorados y resueltos a través de distintas estrategias y recursos matemáticos (Hiebert, et al., 1996). Así, resulta importante que los problemas o tareas se transformen en una plataforma donde los estudiantes formulen conjeturas, utilicen distintas representaciones, empleen varios caminos de solución y comuniquen sus resultados (NCTM, 2000).

El presente estudio se estructuró alrededor de actividades donde se promovía la participación de los estudiantes en procesos de resolución de problemas. Veinticuatro estudiantes de onceavo grado participaron en un curso semestral que incluía las siguientes fases de instrucción: (i) El profesor presenta una breve introducción para explicar metas de las tareas y la importancia de participar colectivamente en los procesos de solución. (ii) Los estudiantes trabajan la actividad en equipos de tres. (iii) Cada equipo presenta su solución y los demás miembros de la clase (incluido el profesor) tienen oportunidad de preguntar. (iv) El profesor promueve la discusión colectiva para analizar los diferentes métodos de solución presentados y, si es necesario, arribar a una solución sistematizada y a posibles extensiones. (v) Trabajo individual. Los estudiantes tienen oportunidad de volver al problema e incorporar las ideas discutidas durante la sesión.

El análisis del trabajo de los estudiantes incluye tres fases: Primera, del trabajo en pequeños grupos se identifican el entendimiento y los modelos que siguieron en sus intentos por resolver los problemas. Segunda, se identifica si hubo variación en los diferentes modelos después de las presentaciones y discusión colectiva. Tercera, se analizan transcripciones de las ideas dadas por estudiantes para resolver los problemas.

Nuestras fuentes de información provienen de los reportes escritos de los estudiantes; las audio y video grabaciones de las sesiones; y las observaciones registradas por el profesor.

Presentación de resultados

Para ilustrar el tipo de análisis y resultados que emergen en el estudio, presentamos lo que muestran los estudiantes al trabajar una de las tareas:

1. Alicia mide 1.5m y se encuentra de pie a 3m de la base de un poste que tiene una lámpara a 4.5m de altura. ¿Cuánto mide la sombra de Alicia?
2. ¿Cómo variará la longitud de la sombra de Alicia cuando se acerca o se aleja? Traza una gráfica en un sistema de ejes perpendiculares. ¿Puedes encontrar una fórmula para esta gráfica?
3. Si se tratara de Simón que mide 2m ¿Cómo será su gráfica comparada con la trazada para Alicia?
[Figura aquí]

Al analizar los reportes escritos de los pequeños grupos se identifican tres respuestas distintas a la pregunta 1; cinco equipos (A, C, D, E y G) coinciden en que la sombra de Alicia mide 1.5m, dos (B y F) afirman que la sombra mide 1m, y el equipo H reporta verbalmente que la sombra del poste mide tres veces la sombra de Alicia. ¿Qué ideas, conceptos, estrategias y representaciones le dan sustento a estas respuestas?

En el video del trabajo en pequeños grupos, observamos que incluso los equipos cuya respuesta es 1.5m muestran tres acercamientos diferentes: 1) Los del equipo D discutieron y aceptaron que hay dos triángulos semejantes (triángulo que forma el poste y el que forma Alicia; marcan los ángulos que son iguales), establecen su proporción y operan para obtener la respuesta. De la misma manera procedieron los equipos G y A. 2) El equipo E construye un triángulo rectángulo en el vértice de la sombra de Alicia, prolongó la sombra, la hipotenusa y traza paralela al poste, en cuyos catetos anotó 2cm (cita semejanza del triángulo que forma el poste con el construido; marca ángulos), calcula el ángulo agudo mediante tan(t)=(2cm)/(2cm)=1 , t=45°; así obtienen la sombra de Alicia:x=1.5/tan(45°)=1.5. 3) El equipo C trazó una línea horizontal sobre la cabeza de Alicia formando un triángulo con el poste, dice que es semejante con el que forma Alicia (hay letras repetidas, usa símbolo de congruencia; marca ángulos) y que sus catetos están en la relación de 1, de ahí obtienen su respuesta. Es notable que sin haber establecido expresamente la relación de semejanza ni tener los argumentos precisos, el equipo D aplica la proporcionalidad entre los lados correspondientes de dos triángulos que son semejantes, los equipos E y C construyen triángulos semejantes, uno aplica un recurso trigonométrico y el otro usa la relación entre catetos de triángulos isósceles semejantes.

Por otra parte, los dos equipos que tienen 1m como la sombra de Alicia (B y F), usan y consideran arbitrariamente la validez de la proporción 4.5m/3m=1.5m/x; F llegó a ella por la aplicación esquemática de regla de tres. Se observa que en los acercamientos mostrados por los equipos existen diferencias cualitativas no sólo en las formas de abordar el problema sino también en los argumentos que utilizan para sustentar las respuestas. Esta fase aportó información valiosa que permitió confrontar las soluciones y además para plantear la necesidad de relacionar los conceptos (semejanza) de manera explícita en el uso de relaciones de proporcionalidad.

La presentaciones de los equipos a toda la clase resultaron ser un componente importante que permitió conocer y discutir los distintos acercamientos al problema. Aquí se muestra una interacción con uno de los equipos:

Core: Bueno, tengo estos triángulos con este ángulo [donde termina la sombra], estas líneas paralelas y estos ángulos [rectos en el poste y pies de Alicia], entonces… 4.5m es a 1.5m como 3m es a x; entonces… x=1m.
Profesor: ¿Cómo la ven?
Grupo: Maaal [destacan voces de Andrés (H) y Rubí (D)].
Profesor: ¿Porqué?, pásenle… [Rubí pasa al pizarrón]. ¿Por qué está mal la solución del equipo F?
Rubí: Ah, bueno, porque ellos pusieron que 3m era a x… pero no puede ser 3m porque les faltó este pedacito [sombra de Alicia].
Profesor: Entonces explícanos tu solución aquí en esta parte.
Rubí: [Habla y escribe] 4.5m es a 1.5m como 3m más x es a x, porque debe incluirse toda esta parte, porque no es aquí donde termina la sombra de Alicia sino hasta aquí. Entonces despejamos la x, pero primero hicimos la división, y nos da 3 es igual a 3m más x sobre x…, da 1.5 metros.

De hecho, con las presentaciones inició la discusión colectiva y se convirtieron en una plataforma para discutir asuntos relacionados con: a) El entendimiento del problema. Para la mayoría de los estudiantes quedó claro qué es lo que se pregunta y cuáles son los datos. b) El empleo de distintas representaciones. Los estudiantes representaron los elementos del problema mediante segmentos y usaron letras para denotarlos y operarlos. c) Las relaciones matemáticas. Los estudiantes identificaron triángulos semejantes (de manera imprecisa), hicieron trazos auxiliares, usaron proporcionalidad o involucraron una función trigonométrica; además identificaron que la variación en la distancia al poste produce una variación en la sombra. d) La solución al problema. Las proporciones fueron operadas para obtener las respuestas, se involucraron variables para obtener el tipo de relación existente y se graficó. e) Verificar la solución. Los estudiantes verificaron sus ideas, si Alicia está bajo la lámpara la sombra vale cero y si se aleja crece. Y f) Posibles extensiones.

En general, durante las presentaciones de los equipos se aprecia que los estudiantes establecen proporciones, sin justificar de manera precisa el porqué son verdaderas; aunque algunos acercamientos muestran serias inconsistencias, los estudiantes tienen la idea de identificar triángulos semejantes, sin dar los argumentos del porqué esta relación de semejanza puede establecerse en una determinada pareja de triángulos y obtener así la proporcionalidad entre los lados correspondientes; es decir, muestran dificultades en el manejo del lenguaje. Como resultado de la interacción, algunos equipos reafirmaron y defendieron sus ideas y otros las modificaron.

Referencias

Balanced Assessment Package for the Mathematics Curriculum. High School Assessment Package 1 & 2. (1999 & 2000). White Plains, N.Y.: Dale Seymours Publications.

Hiebert, J., Carpenter, T.P., Fennema, E., Fuson, K., Human, P., Murray, H., Oliver, A., &
Wearne, D. (1996). Problem solving as a basics for reform in curriculum and instruction: The case of mathematics. Educational Researcher, pp. 12-21.

National Council of Teachers of Mathematics. (2000). Principles and Standards for School Mathematics. Reston Va.: National Council of Teachers of Mathematics.

Schoenfeld, A., H. (1998). Reflections on a course in mathematical problem solving. Research in Collegiate Mathematics Education III., pp. 81-113.

Fuente: http://www.allacademic.com/one/www/research/index.php?cmd=www_search&offset=0&limit=5&multi_search_search_mode=publication&multi_search_publication_fulltext_mod=fulltext&textfield_submit=true&search_module=multi_search&search=Search&search_field=title_idx&fulltext_search=%3Cb%3ELa+Comprensi%F3n+Matem%E1tica+en+la++Resoluci%F3n+de+Problemas.+Un+Estudio+con+Estudiantes+de+Bachillerato%3C%2Fb%3E&PHPSESSID=03d57b9c94d78e6bf4654bb0f3a5c1fb

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