domingo, 10 de enero de 2010

Razonamiento y demostración

Los textos que siguen constituyeron la base de una charla dada el 20/9/05 en la Reunión Anual de la UMA/REM realizada en la ciudad de Salta. Fue dictada por Humberto Alagia
Los textos son en su mayoría traducciones, más o menos literales, de material que aparece en las diferentes referencias bibliográficas indicadas al final. Se usaron en la charla y fueron elegidos por su núcleo común que es los diferentes significados de la demostración matemática en la educación matemática.
Se citan otras fuentes que no fueron citadas explícitamente en la charla pero que tienen cierta importancia para el tema que nos ocupa.


LA DEMOSTRACIÓN EN MATEMÁTICA (ARSAC, 1988)


La demostración es el procedimiento de validación que caracteriza la matemática respecto de las ciencias experimentales y así ocupa un lugar central desde el punto de vista epistemológico en esta disciplina. Por otra parte, y muy lógicamente, también juega un rol central en la enseñanza de la matemática, aunque es un factor de fracaso para muchos alumnos: su aprendizaje aparece como uno de los más difíciles y menos coronados por el éxito que se encuentran desde el punto de vista de los resultados escolares generales o desde el punto de vista del sentido de la noción que los alumnos obtienen de la enseñanza.

Uno no debe entonces asombrarse de los numerosos trabajos consagrados a este problema de aprendizaje. Aun cuando ellos apuntan a dar rápidamente a los enseñantes medios para resolver el problema de la enseñanza de la demostración, estos trabajos tienen casi siempre un componente epistemológico, a veces explícito, a veces implícito. Así ocurre que estos trabajos se encuentran y a veces se confrontan con las investigaciones epistemológicas que pretenden, también ellas, aclarar el problema de la enseñanza de la demostración. Esta confrontación es inevitable pues, dado el papel de útil de validación de la demostración en la matemática y, por eso, de su carácter de cuestión epistemológica permanente (que se traduce históricamente en los debates entre matemáticos (ver Lakatos) y no solo entre entre epistemólogos profesionales que no participan directamente de la creación del saber matemático), hay pocos temas en la matemática cuyo estudio didáctico imponga desde el comienzo elecciones epistemológicas que, por otro lado, están lejos de ser evidentes.
Pero la importancia de la demostración en la enseñanza y las dificultades de su aprendizaje constituyen un problema tan urgente que hay un gran riesgo de precipitarse sobre estos problemas de enseñanza tomando como moneda corriente el estatuto de la demostración en la enseñanza, es decir el resultado de la transposición didáctica, sin interrogarse sobre su origen.
Así lo que subyace a esta exposición es la transposición didáctica [...]. Esto debe permitirnos evitar la doble ingenuidad del didactista, que reflexionará sobre el problema de la enseñanza de la demostración sin interrogarse sobre su estatuto epistemológico, y la del epistemólogo que, ignorando y aun negando el problema de la transposición, creerá obtener del estudio epistemológico, sin otra mediación, conclusiones directamente aplicables en la clase. Las elecciones epistemológicas están estrechamente ligadas con la transposición didáctica: elegir un tipo de prueba, es una cuestión didáctica pero hay también una elección epistemológica, se elige una validación.


ESTUDIANTES Y DEMOSTRACIONES
Traduccion de parte de la introducción del artículo ‘Two column proving custom’ de Patricio Herbst., 2002.

Las tendencias actuales de la educación matemática (como aparecen expresadas en los Principles and Standards for Schoool Mathematics del NCTM del año 2000, entre otros documentos), incluyen la expectativa que los estudiantes de todos los niveles se involucren con el razonamiento y la prueba. “Parte de la belleza de la matemática es que cuando ocurren cosas interesantes, usualmente es por buenas razones. Los estudiantes deberían entender esto”. Más específicamente, “al finalizar la escuela secundaria, los estudiantes deberían ser capaces de comprender y producir pruebas matemáticas”. La motivación para incluir las demostraciones entre las tareas importantes para estudiantes tiene en cuenta lo que forma parte del trabajo de los matemáticos: como las pruebas están íntimamente conectadas con la construcción de las ideas matemáticas, demostrardebería ser una actividad tan natural como definir, modelar, representar o resolver problemas. Sin embargo, cuestiones importantes que deben generar preocupación son las que se refieren a lo que es necesario para organizar aulas donde pueda esperarse que los estudiantes produzcan argumentos y pruebas y, también, lo que pueden ser las características de la prueba en las aulas.

NOTA . Observamos aquí las dos cuestiones que también señala Arsac; las motivaciones para probar en el aula son epistemológicas (cómo es la matemática) pero al aceptar eso se deben confrontarse problemas didácticos. También es interesante, en la argumentación del documento, el recurso a la belleza de la matemática debida a su método de validación.
 Ha sido una tradición usar el curso de geometría de la escuela secundaria para ayudar a los estudiantes a hacer  pruebas. En EE.UU. esta costumbre existe desde hace más de un siglo y ha tenido una influencia duradera en las ideas de la gente sobre la demostración matemática. Para la mayoría las demostraciones son sucesiones compuestas de dos columnas de enunciados y justificaciones que muestran por qué las premisas de una proposición, los datos, llevan a una conclusión. Por esta costumbre de probar en dos columnas, las actividades de demostración de los estudiantes han sido más parecidas a ejercitar la lógica para validar enunciados obvios e inconsecuentes en vez de elaborar argumentos convincentes sobre la razonabilidad de ideas matemáticas importantes.
Sin embargo, pese a estas críticas, notamos dos cosas importantes sobre el formato de prueba a dos columnas. Una, que no importa cuan reductiva pueda considerarse la costumbre, su supervivencia por más de un siglo fue efectiva para mantener un lugar para la ‘demostración’ en el trabajo académico que los estudiantes hacen en la matemática escolar. La otra, que la costumbre de probar en dos columnas se desarrolló cuando las discusiones sobre el curriculum habían traído a la palestra las preocupaciones sobre la responsabilidad de la escuela por la actividad intelectual de los estudiantes. En vista de lo señalado, es posible que la costumbre de probar en dos columnas -esta reducción del razonamiento matemático a sus dimensiones lógicas, formales- se haya desarrollado como una manera viable de cumplir el requerimiento que todo estudiante debe ser capaz de hacer pruebas.

Making Mathematics Reasonable in School, Kilpatrick, J., Martin, W. G., & Schifter, D. (eds.) (2003).  A Research Companion to the Principles and Standards for School Mathematics.  Reston, VA:  NCTM.

Los Principios y Estándares para la matemática escolar (NCTM, 2000) señalan la centralidad del razonamiento matemático [...] :
Razonamiento y Demostración: Los programas desde el pre-jardín hasta el grado 12 deberían permitir que todos los estudiantes:
Reconozcan el razonamiento y la prueba como aspectos fundamentales de la matemática;
Hagan e investiguen conjeturas matemáticas;
Desarrollen y evaluen pruebas y argumentos matemáticos;
Seleccionen y usen varios tipos de razonamiento y métodos de prueba.

El razonamiento matemático es nada menos que una destreza básica. Por qué decimos esto? (p.2). La comprensión matemática no tiene sentido sin un énfasis serio en el razonamiento. (Ej. sobre números decimales) El conocimiento no justificado no es razonado y, así, se vuelve fácilmente no razonable.
Un caso
El razonamiento ‘para justificar’ en matemática descansa sobre dos cimientos. Uno es un corpus de conocimiento público sobre el cual pararse como punto de partida, el cual define el detalle de razonamiento matemático aceptable dentro de un contexto o una comunidad dados. El otro cimiento es el lenguaje –símbolos, términos y otras representaciones, y sus definiciones- y las reglas de lógica y sintaxis para su uso significativo para formular afirmaciones y las redes de relaciones que se usan para justificarlas.[...]. Queremos enfocar la atención en el conocimiento que puede asumirse con comodidad y ser usado públicamente sin explicación adicional. Contrastamos ese conocimiento con ideas y procedimientos que no se comparten y que, así, deben ser establecidos antes de usarlos para justificar afirmaciones en el discurso colectivo de la comunidad.
Es importante notar que esta base de conocimiento público  se define relativamente a una particular comunidad de razonadores. En el casos de matemáticos profesionales, puede consistir de un sistema de axiomas para alguna estructura matemática (tales como geometría euclideana o teoría de grupos) simplemente admitida como dada, más un corpus de conocimiento matemático prevamente desarrollado y públicamente, derivado de esos axiomas. Sostenemos que esta idea es útil para comprender el trabajo de una clase de estudiantes de la escuela elemental [Anexo I, p.14].

Nota: recordar lo que dice Thurston sobre las diferencias para comunicar matemática a grupos cuyo conocimiento compartido varía. ‘paper’ del Bulletin. Anotamos:
Thurston se refiere a su experiencia en un taller de verano donde se reunieron muchos matemáticos en varias subáreas de topología. “Fue una experiencia interesante intercambiar culturas. Se hizo notablemente claro cuánto las demostraciones dependen de la audiencia. Probamos cosas en un contexto social y son dirigidas a una cierta audiencia. Parte de esta prueba podía comunicarla en dos minutos a los topólogos, pero los analistas necesitaban una charla de una hora antes de que empezaran a comprenderla. Similarmente, había algunas cosas que podían decirse en dos minutos a los analistas que tomaban una hora a los topólogos captarla. Y había muchas otras partes de la prueba que tomaban dos minutos en el resumen pero que nadie en la audiencia en ese momento tenía la infraestructura mental para entenderla en menos de una hora”.
Respecto de esto, Carmen Sessa nos comenta que “esto es fundamental. Si uno entiende , junto con P. Cobb, la actividad de producción matemática en una clase como una actividad colectiva, donde las regulaciones entre el grupo y los individuos que lo conforma son a doble vía ( el grupo tiene reglas, costumbres y cultura , que condiciona las producciones individuales y al revés , las producciones de los integrantes, solos o en grupos, van modificando las reglas , costumbres y cultura de la clase) , se ve el problema didáctico de la demostración , como parte de lo que esa cultura va construyendo, que es móvil y propio de esa cultura particular”..

(Hanna y Dörfler: la suma de los números naturales. Pruebas que prueban y pruebas que explican. Relacionarlos con diagramas).

Hanna: Una prueba que nos propongamos usar en el aula debe estar bien estructurada y casi cualquier prueba podría presumiblemente ser reestructurada para hacerla más ‘enseñable’. Sin embargo las pruebas tienen muchas diferencias en su poder explicativo...Es útil distinguir entre ‘pruebas que prueban’ y pruebas que explican. Una prueba que prueba muestra que un teorema es cierto. Una prueba que explica también hace eso, pero la evidencia que presenta deriva del fenómeno mismo. Vale la pena anotar que esta distinción se ha expresado de formas diferentes por muchos y al menos data del siglo XVIII con Clairaut.
Ilustramos esto con formas diferentes de probar que la suma de los n primeros números positivos, S(n), es igual a n(n+1)/2.
Sabemos que se puede probar fácilmente por inducción, pero la prueba tiene poco valor explicativo. Muestra que el teorema es verdadero pero no da ningún indicio de por qué es verdadera. (recordar lo que se dice en Noss en p.9, cita de Pimm: La idea que la matemática trata esencialmente de ve por qué algo es verdadero, no sólo lo que es verdadero´, parece estar ausente.).
Una prueba que explique (hay muchas, ver Steffe (1990) podría mostrar por qué el teorema es cierto basándose en la simetría de dos representaciones de esa suma, como sigue:.........................................
También puede verse el artículo de Dörfler.
La distinción entre ‘pruebas que explican’ y ‘pruebas que prueban aparece de forma algo diferente, en Borba y Villarreal, Human-with-media (p.158). Se discuten dos pruebas del Teorema del Valor Medio a propósito de la ‘visualización’.
Dos pruebas del Teorema del Valor Medio.

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Hanna: Decir que una prueba debe ser explicatoria no quiere decir que no pueda adoptar formas diferentes. Podría ser un cálculo, podría ser una demostración visual, una discusión guiada que cumpla con las reglas propias de una argumentación, una prueba preformal, una prueba informal, o también una prueba que se ajusta a formas estrictas de rigor, todo de acuerdo con el nivel de instrucción y contextos. Pero lo que es común en todos los niveles y contextos es que los estudiantes aprenden matemática que es nueva para ellos pero que consiste de resultados conocidos. Saben que los resultados son verdaderos y el desafío es hacerles que entiendan por qué son verdaderos.
Vale la pena notar lo que Schoenfeld menciona, en varios textos, sobre diferentes actitudes observables en estudiantes enfrentados con un problema de construcción geométrica con regla y compás por un lado y por otro con la prueba de un teorema con resultado ‘conocido’ a partir por ejemplo de un dibujo. Designa a estos  modos de actuar como de ‘invención’ y de ‘confirmación’, respectivamente. Se advierte aquí una diferencia con la resolución de problemas y lo que señala Hanna. Hay una interacción interesante entre qué es verdadero y por qué lo es.

Hanna en 1983 decía: Para la planificación del curriculum que se centre en una mayor comprensión de la matemática (de acuerdo por ejemplo con Thurston), parece fundamental que, para que se refleje el papel de la prueba en la teoría y la práctica de la matemática, debería presentarse la prueba como una herramienta indispensable de la matemática en vez de presentarla como el núcleo mismo de la matemática.
Comentarios sobre ‘pruebas y constructivismo’ pp. 44-45 del artículo citado en bibliografía.

    

Reflexiones sobre la presencia de las demostraciones en el curriculum matemático
Las citas y reflexiones que siguen están basadas en o extraídas principalmente del artículo “Structure and Ideology in the Mathematics Curriculum”, escrito por Richard Noss y publicado en For the Learning of Mathematics, vol.14, 1, 1994.

Las observaciones sobre la historia del formato de prueba a dos columnas plantean dos cuestiones. Una es la adopción de una innovación didáctica, el formato, que puede interpretarse como la respuesta a un requerimiento del curriculum. Ese requerimiento es que los alumnos aprendan el arte de la demostración, del método de validación en matemática. Ocurre que el vehículo para enseñar a demostrar es el curso de geometría euclidiana. Aunque la geometría se considera un saber socialmente valioso, en la práctica y durante el proceso de adaptación a las sugerencias o requerimientos del curriculum, el objetivo de hacer pruebas entra en tensión con el objetivo de adquirir conocimiento geométrico. El reconocimiento de esta tensión y, más aun, los resultados de los cursos consecuencia de esta tendencia, llevaron a una postura vigente ahora que, en principio, alerta sobre la conveniencia de modificar el énfasis. Cómo se sugiere esto, queda por ahora fuera de nuestro interés, pero sigue siendo válido que los cambios en el curriculum no ocurren por decreto.
Lo que hemos señalado a modo de conclusión es una cuestión que aparece en diversas áreas de estudio de la matemática, la filosofía de la matemática y de la filosofía de la educación matemática. Se trata de ‘formalismo y conocimiento’. Quienes practican matemática, sea como ‘expertos’ o como ‘docentes’ intuyen esta tensión y los problemas derivados.

En su trabajo Noss habla de los significados que tiene la prueba en matemática y también en su enseñanza en la escuela. Hay significados que son ‘inherentes’ a la matemática y hay significados que son extrínsecos, los significados que llama ‘delineados’. Los significados que los matemáticos asignan a las demostraciones aparecen como inherentes, la prueba se considera como la esencia de la matemática, una esencia intemporal que es la base de la estructura de la disciplina. Lo que Noss observa es que la cosa no es tan simple. Hay factores en la práctica y muchos observables en la práctica de la matemática que son significados delineados. Baste señalar que la demostración rigurosa no siempre ha caracterizado a la matemática; y la práctica, estudiada por autores como Lakatos y muchos más,  pone varias cosas en evidencia.
Un significado delineado, asociado estrechamente con la idea de prueba es la creencia que la prueba matemática es generalmente superior a la justificación cotidiana. No es difícil imaginar algunas bases para esta creencia, pero a nosotros nos interesa ahora cuestionarla. La creencia queda englobada en un punto de vista más amplio: ‘el pensamiento matemático es superior al pensamiento práctico’, que es una idea arraigada en el pensamiento occidental. Está relacionada con la ideología de qué significa pensar abstractamente, aun qué significa pensar.
Noss dice: “Mientras estoy de acuerdo en reconocer que hay diferencia entre comportamientos matemáticos y comportamientos cotidianos, dudo que puedan ser organizados en una escala jerárquica general.”
La existencia (y persistencia) de estas creencias y significados delineados es, prima facie, fácil de percibir empíricamente. Noss provee algunos ejemplos (ver el artículo) que esencialmente sugieren que los significados inherentes y los delineados están entrelazados y son difíciles de percibir por los matemáticos. Los ejemplos parecen mostrar que hay resistencia a perder algunos significados delineados . Además del significado delineado que atribuye al rigor matemático superioridad respecto del rigor en general, son delineados los significados conectados con versiones popularizadas de la eficacia y de la ubicuidad de la matemática (p.ej. en relación con innovaciones tecnológicas). Estos significados son construídos desde ‘afuera de la matemática’ y pueden o no ser adoptados por la comunidad matemática. Un ejemplo no muy lejano lo constituye la teoría de sistemas dinámicos no-lineales, la conocida teoría de caos. Desde las ciencias sociales y políticas llegó a atribuirse a la teoría matemática la interpretación de fenómenos caóticos políticos y sociales; no al uso de teorías matemáticas para modelar esos fenómenos

Balacheff escribió en 1988: “la práctica de la prueba es un compromiso a la resolución de problemas que no es ya más uno e efectividad de los requerimientos prácticos si no uno de rigor, un requerimiento teórico.” Balacheff resume la tensión esencial entre el pensamiento cotidiano y el pensamiento matemático: las reglas que gobiernan el comportamiento en la vida diaria (donde la efectividad es un criterio apropiado) son diferentes de las válidas en matemática. Son prácticas diferentes, discursos diferentes, y Balacheff afirma que la distinción es una de rigor. El rigor es un concepto no definido, pero se refiere a las frágiles cadenas de razonamiento que se privilegian en la matemática así como con a la búsqueda de lo general dentro del discurso matemático, acota Noss.
El autor concluye que esta noción de rigor se ha usado frecuentemente como un vehículo para importar al pensamiento matemático significados delineados de la superioridad intelectual general de ese pensamiento. Esto es ilustrado por el caso de la geometría: el énfasis en los axiomas y teoremas de Euclides pudo haber tenido más que ver con la transmisión de mensajes sobre las certidumbres y la inmutabilidad del orden mundial que con el propósito de transmitir una comprensión de la verdad matemática. Y agrega: “Creo que no es exagerado decir que la reproducción de pruebas en la escuela obscureció en vez de iluminar significados; las pruebas no generaron mejores percepciones [geométricas] sino que las sustituyeron [...]”.

Desde los años sesenta han venido ocurriendo cambios drásticos en los significados delineados que acompañan la noción de prueba (Noss se refiere específicamente al caso del Reino Unido, pero muchas cosas son análogas en otros lados.) Hasta cierto punto las demostraciones desaparecen efectivamente de los planes de estudios y esto se ha visto en muchos lados como un signo de lo que se llama curriculum matemático ‘progresista’. Señala Noss que esta situación es más bien sorprendente: “Después de todo, para muchos matemáticos profesionales, la matemática es demostrar y las ideas en boga ponen el énfasis en considerar a los jóvenes estudiantes como jóvenes matemáticos en vez de solamente contarles sobre la matemática.

Lo expuesto pone en evidencia un par de significados delineados contradictorios para la noción de prueba en la escuela.. Primero, hay una creencia que la prueba es generalmente una forma superior de razonar, no sólo un ingrediente que distingue a la matemática de otros emprendimientos intelectuales y prácticos.
Segundo, algunos educadores están convencidos que las demostraciones en el curriculum son una barrera a las actividades creativas y de investigación de los alumnos y que eso se opone al espíritu de exploración e investigación que proponen los nuevos curriculum.  

(Sigue Noss, p.8)
El análisis [...] nos lleva a una perspectiva del curriculum matemático como una intersección de requerimientos e intereses a menudo implícitos que se reflejan [...] en los significados inherentes y delineados co-producidos por matemáticos, docentes de matemática y alumnos. [Esto nos permite] ver la generación de significados matemáticos como emergentes de una dialéctica entre significados ineherentes y delineados. El funcionamiento de esta dialéctica se manifiesta de muchas formas, en particular en la tensión entre forma y contenido: digamos entre el ritual vacío de la forma de la demostración matemática y los significados descuidados que resultan de la estructura de la prueba matemática. Las formas matemáticas de pensar, demostración formal, rigor simbólico no son realidades superficiales, formas de expresar, representaciones de esencias puras; ni tampoco resumen lo que es la matemática, no constituyen ellos mismos la actividad matemática.



El autor sostiene, interesantemente que el pensamiento matemático en general y la noción de demostración en particular, ofrecen una estética alternativa, una manera para que la gente comprenda, aprecie y actúe sobre el mundo. El pensamiento matemático es una (no única) forma de pensamiento teórico y como Otte (1990) señala, “el pensamiento teórico presupone una variabilidad entre el nivel de conocimiento y la realidad objetiva sobre la que habla el conocimiento” (p. 39).
Concebida de esta forma, la matemática se vuelve una manera de acceder al pensamiento formal, teórico, en vez de ser el epítome del pensamiento formal mismo. ¿Y por qué es el “pensamiento teórico importante? Porque una solución teórica a un problema puede servir como solución de otros problemas. Las soluciones pragmáticas a problemas son a menudo razonables y funcionales: siempre son específicas de un contexto. Pero adoptar exclusivamente esta posición lleva a perder algo: al lograr la posibilidad de una respuesta inmediata, se corre riesgo de no acceder a preguntas tales como ¿Funcionaría esto en otras situaciones? ¿Cuál es la lógica detrás de esto? ¿Por qué es esto cierto?. Más generalmente, no se puede ver lo general en lo particular. Sería razonable afirmar que quién hace esas preguntas constituiría una persona educada, consciente (sensible), capaz de tratar de tratar de comprender críticamente situaciones locales y globales en las cuales están involucradas y, quizás, tratar de influenciarlas.

 OBSERVACIÓN DE HA. En “La Historia de la Eternidad”, en una nota al pie después de presentar la eternidad platónica, Borges señala: “No quiero despedirme del platonismo (que parece glacial) sin comunicar esta observación, con la esperanza de que la prosigan y la justifiquen: lo genérico puede ser más intenso que lo concreto. Casos ilustrativos no faltan. De chico veraneando en el norte de la provincia, la llanura redonda y los hombres que mateaban en la cocina me interesaron, pero mi felicidad fue terrible cuando supe que ese redondel era “pampa” y esos varones “gauchos”. Y agrega: “Lo genérico [...] prima sobre los rasgos individuales, que se toleran en gracia de lo anterior”))

Del artículo de Patricio Herbst. Interactions with diagrams and the making of reasoned conjectures in geometry. ZDM 2004, Vol. 36.(Traducción no estrictamente literal)
Conjeturar y demostrar son parte de una unidad cognitiva natural en matemática que gira alrededor de la actividad de producir teoremas.[...]. La demostración matemática juega un papel esencial para la existencia de teoremas, para dar forma a conjeturas razonables y para construir un discurso razonado. El análisis de Lakatos de la emergencia de ideas matemáticas a través de la producción histórica de la comunidad matemática (en contraste con la impresión creada  por la presentación usual a-histórica y descontextualizada en los libros de texto), muestra como la prueba está intrínsicamente atada al desarrollo (y no sólo a la justificación) del conocimiento: Probar es una herramienta para adaptar intuiciones privadas y hacer de ellas afirmaciones razonables para desarrollarlas públicamente. Como argumenta Lakatos, la dialéctica de pruebas informales y refutaciones es clave para mejorar una conjetura y lograr un teorema. Probar es instrumental para conjeturar – no menos porque, hasta el punto que la pruebas y las refutaciones también dan forma a conceptos matemáticos (al hacerlos abstracciones), probar es la mejor herramienta para manejarlos (a los conceptos, no?. Cuán cierto es esto?) Cuánto la prueba necesita ser formal para ser también efectiva, depende bastante de cuánto los conceptos necesitan ser separados de sistemas informales de representación para que quienes los manejan los acepten como bien definidos. Y teniendo en cuenta que las pruebas útiles a la creación matemática son, generalmente, informales, también puede decirse que raramente conjeturar es a tontas y a locas. Como dice Lakatos, en el razonamiento heurístico que lleva a la creación de conocimiento matemático, conjeturar es más bien ‘aventurar deductivamente’.


ANEXO I Ball y Bass,(2003). Trabajando en una clase de tercer grado sobre el problema: “escribir oraciones numéricas para el número 10”, al principio los estudiantes escribían igualdades muy simples como: 4+6=10, 3+7=10, 8+2=10. Sugiriendo soluciones más complejas la investigadora pidió: ¿Quién puede hacer en una oración numérica que sea igual a 10 pero que tenga más de dos números que sumen 10?.
Prontamnete un estudiante, T comenzó: Uno más uno más uno... y la docente escribió mientras T continuaba: “Uno más uno más uno más uno más uno más uno más uno. Más tres.”. Y preguntó a H: “¿por qué es igual a diez”; y H simplemente repitió: “Eso es uno más uno...”. “¿Cómo sabemos que es igual a 10?”. Entonces intervino R ansiosa por contestar: “Porque uno más uno más uno más uno más uno más uno más uno más tres es igual a diez”. La docente  insatisfecha dijo: “Pero estás simplemente leyéndolo. ¿Cómo podrías probarlo a alguien que no estuviera seguro?”; entonces R dice: “porque lo conté” y la docente: “¿Cómo lo contaste?”. R contesta: “ Hay uno y el siguiente es dos y el siguiente es tres[...], el siguiente es siete y entonces tres más, ocho, nueve, diez.”
Quizá con este conteo R se convence a sí misma que la formulación de T era válida. La docente le requiere que haga público este razonamiento para convencer también a la clase. Después la docente valida públicamente el trabajo de R, subrayando así un estándar para explicar y justificar que es más que una simple reformulación de la afirmación: “¿Ven la diferencia en la segunda explicación de R? ¿vieron cómo realmente nos probó cómo es igual a 10?. La primera vez simplemente lo leyó, pero la segunda vez lo explicó.” La docente señala explícitamente el trabajo de R y comenta sobre las diferencias entre repetir una afirmación y explicarla.
En este ejemplo la adición representada por 1+1+1+1+1+1+1+3=10, no se suponía parte de la base del conocimiento de esta clase y por eso R fue inducida a reducir la afirmación a un conteo iterado, llevando la cuenta del total mientras contaba. En este punto la afirmación de T se redujo suficientemente a un nivel donde se recurría al conocimiento común de la clase (conteo de a uno) y no requería más justificación.

Decidir si un conocimiento específico es realmente un conocimiento compartido es una cuestión empírica que el docente debe ponderar (más generalmente, quién está comunicando). ¿Comprendió y estuvo de acuerdo cada uno que la elaborada explicación de R probaba satisfactoriamente la afirmación de T?

ANEXO II (Maher y Martino, 1996. Estas autoras hacen un estudio de caso longitudinal sobre el desarrollo de la idea de la prueba con una estudiante. Su desempeño fue observado durante cinco años.
Es interesantemirar su producción escrita de lo que constituye su versión de una ‘prueba por casos’, que es legítima en la matemática. Lo que sigue es la tarea asignada y la respuesta de Stephanie.

Envía una carta a una estudiante que está enferma y no puede venir a casa. Describe todas las torres diferentes que has construído con tres cubos de plástico y con dos colores disponibles. Explica por qué estás segura de que hiciste todas las torres posibles y no dejaste ninguna afuera.

“Querida Laura:
hoy hicimos torres de 3 de alto y 2 colores. Hay ocho arreglos en total. Lo sé porque todo lo que tienes que hacer es multiplicar 2x el número que uno tendría para dos, así que es 2x4. Lo probaré. Si pongo las torres en orden de color los colores son rojo y blando, R indica rojo y B blanco.
(Hace el dibujo...)

Si esto no te convence te digo más:
No puede agregar más cubos blancos a la torre de tres B, porque estaría rompiendo las reglas, para primero un rojo y después dos blancos no podría poner más arriba o si no estaría rompiendo las reglas. Esto vale para cada uno, hasta lo puedes verificar. También cuando multiplicas 2x4 es igual a 8. Esa teoría funciona para cada uno. Simplemente multiplica la respuesta para el último problema de torres por 2”.
En las conclusiones las autoras presentan esta conclusiones:

Stephanie, de diez años, ‘inventó’ una prueba por casos para justificar su solución a un problema en el que había estado trabajando en el curso por varios meses. Su ‘invención’ abarca  las tres formas de argumentos matemáticos que describe Balacheff. Al comienzo Stephanie indicó una idea intuitiva que la matemática tenía que tener sentido. Esto contribuyó a su interés en trabajar para desarrollar una justificación de acuerdo con sus criterios. También Stephanie tuvo múltiple oportunidades para exprimentar con sus ideas en varios escenartios. A medida que pasaba el tiempo fue capaz de desarrollar argumentos más sofisticados, los presentó a otros, incialmente a su compañero y a toda la clase, después a su docente/investigadora y, finalmente en seria discusión en un grupo pequeño.[.....]
El diseño del estudio hizo posible que S modificara y extendiera sus ideas originales y reflexionara sobre ellas, tomando en cuenta lo que recibía de los otros. En este ambiente S prosperó. Le permitió construir estrategias nueva y, a veces, más poderosas..
Lo que emerge de este análisis es el retrato de una estudiante que es una constructora activa de ideas matemáticas en un entorno en el cual fue conveniente para que el profesor sirviera como guía durante el proceso.

BIBLIOGRAFÍA CHARLA SALTA 2005


Arsac, G. [1988] Les recherches actuelles sur l’apprentissage de la démonstration et les phénomenes de validation en France   Recherches en didactique des mathématiques, vol. 9, Nº3, pp. 247-280
Ball, D. and Bass, H. [2003]   Making Mathematics Reasonable in School. In:  Kilpatrick, J., Martin, W. G., & Schifter, D. (eds.)  A Research Companion to the Principles and Standards for School Mathematics.  Reston, VA:  NCTM
Borba, M. C. and Villarreal, M. E. [2005] Humans-with-media and the Reorganization of Mathematical Thinking. Springer
Dörfler, W. [2003] Observación y diseño en pruebas matemática. (Traducción del inglés: Alagia, H.). http://www.lettredelapreuve.it/Newsletter/03Printemps/ObservationCastillano.pdf
Hanna, G. [1995] Challenges to the importance of proof, For the Learning of Mathematics, 15, 3, 42-49
Herbst, P. [2002] Establishing a custom of proving in American School: Evolution of the two- column proof in the early twentieth century. Educational Studies in Mathematics vol. 49, Nº 3, 283-317
Herbst, P. [2004] Interactions with Diagrams and the Making of Reasoned Conjectures in Geometry. ZDM, vol. 36
Maher, C. and Martino, A. [1996] The Development of the Idea of Mathematical Proof: A 5-year Case Study, Journal for Resarch in Mathematics Education, 27, 2, 194-214
Noss, R. [1994] Structure and ideology in the mathematics curriculum. For the Learning of Mathematics, 14, 1, 2-10
Otte, M.  [1990] Intuition and Logic. For the Learning of Mathematics, 10, 2, , 32-37
Panizza, M. [2005] Razonar y Conocer: Aportes a la comprensión dela racionalidad matemática de los alumnos. Libros del Zorzal, Buenos Aires.
Polya, G. [1954] Mathematics and Plausible Reasoning. Princeton University Press, New Jersey
Thurston, W. P. [1994] On proof and progress in mathematics. Bulletin of the  American Mathematical Society. 30(2), 161-167. (Este artículo se reimprimió en For the learning of mathematics, 15, 1, 29-37 (1995)
Schoenfeld, A. [1994] What do we know about mathematics curricula?.  Journal of Mathematical Behavior  (1994), 13(1), pp. 55-80
Steffe, L. P. [1990] On the Knowledge of Mathematics Teachers. Constructivist Views on the Teaching and Learning of Mathematics, ed. Davis, R. and others, JRME Monograph Nº 4, NCTM. pp. 167-186
Fuente: http://www.union-matematica.org.ar/reunion_anual/reunion05/conferencias05/Conferencia%20_Alagia.doc